Trigonometría

Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema de coordenadas cartesianas.

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.¹

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellaspróximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Historia

Artículo principal: Historia de la trigonometría

Tablilla babilonia Plimpton 322.

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones segundo grado, o una tabla trigonométrica.

Papiro de Ahmes

Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:

"Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es su Seked?"

La solución, al problema, es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es lacotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.

Unidades angulares[editar]

En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es elradián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes (algo más de 6,28).
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.


Transportador en radianes.	Transportador en grados sexagesimales.	Transportador en grados centesimales

Las funciones trigonométricas[editar]

Artículo principal: Función trigonométrica

La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

Razones trigonométricas[editar]

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo $\alpha \,$ , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

\sin \, \alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} = \frac{a}{c}

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

\cos\alpha = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{b}{c}

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

\tan\alpha = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} = \frac{a}{b}

Razones trigonométricas inversas[editar]

Artículo principal: Inverso multiplicativo

Triángulo ABC proporcional con un ángulo inscrito en una circunferencia de centro A y radio 1

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:

\csc \alpha = \frac{1}{\sin \; \alpha} = \frac{c}{a}

En el esquema su representación geométrica es:

\csc \alpha = \overline{AG}

La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:

\sec \alpha = \frac{1}{\cos \; \alpha} = \frac{c}{b}

En el esquema su representación geométrica es:

\sec \alpha = \overline{AD}

La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{b}{a}

En el esquema su representación geométrica es:

\cot \alpha = \overline{GF}

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

Equivalencia entre las funciones trigonométricas[editar]

	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente	Secante	Cosecante
$\sin\theta\,$	$\sin\theta\,$	$\sqrt{1-\cos^{2}\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}{\sec\theta}$	$\frac{1}{\csc\theta}$
$\cos\theta\,$	$\sqrt{1-\sin^{2}\theta}$	$\cos\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}$	$\frac{\cot\theta}{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\sec\theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}{\csc\theta}$
$\tan\theta\,$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}{\cos\theta}$	$\tan\theta\,$	$\frac{1}{\cot\theta}$	$\sqrt{sec^{2}\theta-1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}$
$\cot\theta\,$	$\frac{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}{\sin\theta}$	$\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\tan\theta}$	$\cot\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}$	$\sqrt{\csc^{2}\theta-1}$
$\sec\theta\,$	$\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}\theta}}$	$\frac{1}{\cos\theta\,}$	$\sqrt{1+\tan^{2}\theta}$	$\frac{\sqrt{1+\cot^{2}\theta}}{\cot\theta}$	${\sec\theta}\,$	$\frac{\csc\theta}{\sqrt{\csc^{2}\theta-1}}$
$\csc\theta\,$	$\frac{1}{\sin\theta\,}$	$\frac{1}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}$	$\frac{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}{\tan\theta}$	$\sqrt{1+\cot^{2}\theta}$	$\frac{\sec\theta}{\sqrt{\sec^{2}\theta-1}}$	${\csc\theta}\,$

Otras funciones trigonométricas[editar]

Además de las funciones anteriores existen otras funciones trigonométricas, matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geométrico, veamos:

El seno cardinal o función sinc (x) definida:

\operatorname{sinc} \; (x) = \frac{\sin(x)}{x}

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define:

\operatorname {versin} \; \alpha = 1 - \cos \alpha

El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico:

\operatorname {semiversin} \; \alpha = \frac {\operatorname {versin} \; \alpha }{2}

El coverseno,

\operatorname {coversin} \; \alpha = 1 - \sin \; \alpha

El semicoverseno

\operatorname {semicoversin} \; \alpha = \frac { \operatorname {coversin} \; \alpha }{2}

El exsecante:

\operatorname {exsec} \; \alpha = \sec \alpha - 1

Funciones trigonométricas recíprocas[editar]

Artículo principal: Función recíproca

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíproca se denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función recíproca:

$y= \sin \, x \,$

y es igual al seno de x, la función recíproca:

x = \operatorname {arcsin} \; y \,

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

y= \cos x \,

y es igual al coseno de x, la función recíproca:

x = \arccos y \,

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

y= \tan x \,

y es igual al tangente de x, la función recíproca:

x = \arctan y \,

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.

NOTA: Es común, que las funciones recíprocas sean escritas de esta manera:

y = \operatorname {arcsin} \; x \quad \longrightarrow \quad y = \sin^{-1} x \,

pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:

y = \cfrac{1}{\sin x} \quad \longrightarrow \quad y = \csc x

Valor de las funciones trigonométricas[editar]

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:


Circunferencia en radianes.	Circunferencia en grados sexagesimales.

Radianes	Grados sexagesimales	seno	coseno	tangente	cosecante	secante	cotangente
$0 \;$	$0^o \,$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$0 \,$	$\nexists (\pm \infty) \,\!$	$1 \,$	$\nexists (\pm \infty) \,\!$
$\frac{1}{6}\pi$	$30^o \,$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$2 \,$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$
$\frac{1}{4}\pi$	$45^o \,$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1 \,$	$\frac{2}{\sqrt{2}}$	$\frac{2}{\sqrt{2}}$	$1 \,$
$\frac{1}{3} \pi$	$60^o \,$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$2 \,$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{1}{2} \pi$	$90^o \,$	$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$	$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\nexists (\pm \infty) \,\!$	$1 \,$	$\nexists (\pm \infty) \,\!$	$0 \,$

Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen bibliotecas de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

Sentido de las funciones trigonométricas[editar]

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

A \equiv O

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo

\alpha \,

sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

\frac{\; \overline{CB} \;}{\overline{OC}} = \frac{\; \overline{ED} \;}{\overline{OE}}

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia

\overline{OE}

\overline{OB}

son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

\sin \alpha = \overline{CB} \,

\cos \alpha = \overline{OC} \,

\tan \alpha = \overline{ED} \,

tenemos:

\frac{\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{1}

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante[editar]

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo

\alpha \,

Para

\alpha = 0 \,

, tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

\sin 0 = 0 \,

\cos 0 = 1 \,

\tan 0 = 0 \,

Si aumentamos progresivamente el valor de

\alpha \,

, las distancias

\overline{CB}

\overline{ED}

aumentarán progresivamente, mientras que

\overline{OC}

disminuirá.

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.

Los segmentos:

\overline{OC}

\overline{CB}

están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero

\overline{ED}

no está limitado, dado que D es el punto de corte de la rectar que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo

\alpha = 0,5 \pi \,

rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia

\overline{ED}

será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

\sin \frac{\pi}{2} = 1 \,

\cos \frac{\pi}{2} = 0 \,

\tan \frac{\pi}{2} = \pm\infty \to \mathrm{No \; definida}

Segundo cuadrante[editar]

Cuando el ángulo

\alpha \,

supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento

\overline{CB}

, el coseno aumenta según el segmento

\overline{OC}

, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo

\alpha \,

inferior a

\pi/2 \,

rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los

\pi/2 \,

rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por Een el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente

\overline{ED}

por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo

\alpha \,

aumenta progresivamente hasta los

\pi \,

rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de

\alpha \,

\overline{CB}

, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para

\alpha = \pi/2 \,

rad, hasta que valga 0, para

\alpha = \pi \,

rad, el coseno,

\overline{OC}

, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para

\alpha = \pi/2 \,

rad, hasta –1, para

\alpha = \pi \,

rad.

La tangente conserva la relación:

\tan \alpha = \frac{\sin \alpha} {\cos \alpha}

incluyendo el signo de estos valores.

Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:

\sin \; \pi = 0 \,

\cos \pi = -1 \,

\tan \pi = 0 \,

Tercer cuadrante[editar]

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo

\alpha = \pi \,

rad a

\alpha = 3\pi/2 \,

rad, se produce un cambio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desde los que toman para

\pi \,

rad:

\sin \frac{3\pi}{2} = -1 \,

\cos \frac{3\pi}{2} = 0 \,

\tan \frac{3\pi}{2} = \infty \to No \; definida

Cuando el ángulo

\alpha \,

aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento

\overline{OC}

, el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno,

\overline{CB}

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente,

\overline{ED}

, aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo

\alpha \,

alcance

3\pi/2 \,

rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento

\overline{CB}

será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:

\tan \alpha = \frac{\sin \alpha} {\cos \alpha}

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que a medida que el coseno se acerca a valores cercanos a cero, la tangente tiende a infinito.

Cuarto cuadrante[editar]

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo

\alpha \,

entre

3\pi/2 \,

rad y

2\pi \,

rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para

3\pi/2 \,

rad:

\sin (3\pi/2 ) = -1 \,

\cos(3\pi/2 ) = 0 \,

\tan(3\pi/2 ) = \infty \to No \; definida

hasta los que toman para

2 \pi \,

rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

\sin (2 \, \pi ) = \sin\; 0 = 0 \,

\cos(2 \, \pi ) = \cos 0 = 1 \,

\tan(2 \, \pi ) = \tan 0 = 0 \,

como puede verse a medida que el ángulo

\alpha \,

aumenta, aumenta el coseno

\overline{OC}

en el lado positivo de las x, el seno

\overline{CB}

disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente

\overline{ED}

también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando

\alpha \,

, vale

2 \pi \,

0 \pi \,

al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos:

\sin \; \alpha = \sin(\alpha + 2 \, \pi \, n )

\cos \alpha = \cos (\alpha + 2 \, \pi \, n )

\tan \alpha = \tan(\alpha + 2 \, \pi \, n )

Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas.

Representación gráfica[editar]

Representación de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

Cálculo de algunos casos[editar]

Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en cuatro cuadrantes, por dos rectas perpendiculares, que se cortan en el centro de la circunferencia O, estas rectas cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, la recta horizonte AC también la podemos llamar eje x y la recta vertical BD eje y. Dada una recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma un ángulo α con OA, eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que la vertical que pasa por F corta al eje x en E, la vertical que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo esto definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones trigonométricas:

para el seno:

sen \; \alpha = \cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} = \overline{EF}

dado que:

\overline{OF} = 1

Para el coseno:

cos \; \alpha = \cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} = \overline{OE}

dado que:

\overline{OF} = 1

Para la tangente:

tan \; \alpha = \cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OE}} = \cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} = \overline{AG}

dado que:

\overline{OA} = 1

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes:

Para 90-α[editar]

Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α en el sentido horario, la recta r forma con el eje x un ángulo 90-α, el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo conocidas las de α serán:

El triángulo OEF rectángulo en E, siendo el ángulo en F α, por lo tanto:

\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (90-\alpha) = cos \; \alpha

en el mismo triángulo OEF, tenemos que:

\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = cos \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (90-\alpha) = sen \; \alpha

viendo el triángulo OAG, rectángulo en A, siendo el ángulo en G igual a α, podemos ver:

\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (90-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (90-\alpha) = \cfrac{1}{tan \; \alpha}

Para 90+α[editar]

Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α, medido en sentido trigonométrico, el ángulo formado por el eje horizontal OA y la recta r será 90+α. La prolongación de la recta r corta a la circunferencia en F y a la vertical que pasa por A en G.

El triángulo OEF es rectángulo en E y su ángulo en F es α, por lo tanto tenemos que:

\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (90+\alpha) = cos \; \alpha

En el mismo triángulo OEF podemos ver:

\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (90+\alpha) = -sen \; \alpha

En el triángulos OAG rectángulo A y siendo α el ángulo en G, tenemos:

\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (90+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (90+\alpha) = \cfrac{-1}{tan \; \alpha}

Para 180-α[editar]

Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ángulo α, el ángulo entre el eje OA y la recta r es de 180-α, dado el triángulo OEF rectángulo en E y cuyo ángulo en O es α, tenemos:

\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = sen \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (180-\alpha) = sen \; \alpha

en el mismo triángulo OEF:

\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (180-\alpha) = -cos \; \alpha

En el triángulo OAG, rectángulo en A y con ángulo en O igual a α, tenemos:

\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (180-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (180-\alpha) = -tan \; \alpha

Para 180+α[editar]

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con un ángulo α trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de 180+α, como se ve en la figura. En el triánguloOEF rectángulo en E se puede deducir:

\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (180+\alpha) = -sen \; \alpha

en el mismo triángulo OEF tenemos:

\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (180+\alpha) = -cos \; \alpha

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (180+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (180+\alpha) = tan \; \alpha

Para 270-α[editar]

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido horario trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270-α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (270-\alpha) = -cos \; \alpha

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = -cos \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (270-\alpha) = -sen \; \alpha

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = tan \; (270-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (270-\alpha) = \cfrac{1}{tan \; \alpha}

Para 270+α[editar]

Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido trigonométrico, trazamos la recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270+α. En el triángulo OEF, rectángulo en E, tenemos:

\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (270+\alpha) = -cos \; \alpha

por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = cos \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (270+\alpha) = sen \; \alpha

en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OA} \;}{\overline{AG}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (270+\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (270+\alpha) = \cfrac{-1}{tan \; \alpha}

Para -α[editar]

Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OA con un ángulo α medido en sentido horario trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de -α, o lo que es lo mismo 360-α como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

\left . \begin{array}{l} sen \; \alpha =\cfrac{\; \overline{EF} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{EF} = -sen \; (-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad sen \; (-\alpha) = -sen \; \alpha

en el mismo triángulo OEF tenemos:

\left . \begin{array}{l} cos \; \alpha =\cfrac{\; \overline{OE} \;}{\overline{OF}} \\ \overline{OF} =1 \\ \overline{OE} = cos \; (-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad cos \; (-\alpha) = cos \; \alpha

en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

\left . \begin{array}{l} tan \; \alpha =\cfrac{\; \overline{AG} \;}{\overline{OA}} \\ \overline{OA} =1 \\ \overline{AG} = -tan \; (-\alpha) \end{array} \right \} \longrightarrow \quad tan \; (-\alpha) = -tan \; \alpha

Identidades trigonométricas[editar]

Artículo principal: Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales: